LABORATOIRE DU 1ER CYCLE

Le laboratoire de premier cycle du SAG vise à accueillir les étudiants de premier cycle qui sont attirés par la recherche mathématique et désireux de s’y initier. Ceci peut être fait dans le cadre du cours MAT 523, Initiation à la Recherche Mathématique ou bien en effectuant un stage de recherche sous la direction d’un des membres de notre équipe.

 

Un tel stage peut être financé par une bourse de recherche du premier cycle du CRSNG ou de l’ISM ou encore par les subventions de recherche des directeurs de recherche pressentis.

 

QU’EST-CE QUE LA RECHERCHE?

 

À ce propos, nous ne pouvons faire mieux que citer le mathématicien français Laurent Schwartz, médaillé Fields :

 

«  Tout débute à un moment donné par la survenue d’une idée. (…) Le propre du chercheur est de désirer se poser des questions, (…) d’essayer d’exploiter toute chose nouvelle. (…) Apprendre, creuser, comprendre. (…) Il y a des choses qui marchent bien, d’autres qui ne marchent pas. (…) Il n’est pas possible de savoir à tout instant ce qu’on va faire. (…) Au fur et à mesure que le temps passe, si l’on est un chercheur, si l’on sait faire de la recherche, on est à peu près sûr qu’il en sortira quelque chose. (…) On trouve! Ou on trouve le contraire de ce qu’on cherchait! (…). Il faut être capable, au cours de la recherche, de déceler toute direction différente qui pourrait être fructueuse. Il faut de la volonté, de l’opiniâtreté, de l’originalité et une grande disponibilité d’esprit. (…) revenir en arrière, prendre une théorie ou un théorème connus, les modifier, donc les lire et les comprendre rapidement, puis les transformer et les rédiger sous leurs nouvelles formes. (…) Un des aspects essentiels de la recherche est la levée des inhibitions. (…) »



El Yassini, Ismael
Période : janvier 2021 à avril 2021
Financement : Bourse CRSNG et subvention CRSNG de Jean-Philippe Burelle
Directeur(s) : Jean-Philippe Burelle
Courriel : ismael(point)el(point)yassini(à)usherbrooke(point)ca

Baillargeon, Rose-Line
Période : mai 2020 à août 2020
Financement : Cours d’initiation à la recherche
Titre : La structure partiellement exacte maximale
Sujet : Il est connu que le treillis des structures exactes sur une catégorie additive admet un élément maximal. Nous nous sommes demandés si les structures partiellement exactes (voir la description du stage de Rose-Line de l’automne 2019), une généralisation des structures exactes, admettent aussi un élément maximal. Nous avons trouvé qu’avec des conditions sur la catégorie additive, la structure stable est la structure partiellement exacte maximale et qu’elle est égale à la structure exacte maximale dans ce cas. Ensuite, avec les résultats obtenus depuis l’automne 2019, Thomas Brüstle, Souheila Hassoun et Rose-Line ont rédigé un article «The Lattice of Weakly Exact Structures», c’est-à-dire «Le treillis des structures partiellement exactes». Cet article décrit le treillis des structures exactes, le treillis des structures partiellement exactes, le treillis des sous-bifoncteurs de Ext, le treillis des sous-bifoncteurs fermés de Ext, le treillis des bimodules (voir le stage d’Élodie Lapointe à l’hiver 2020), le treillis des bimodules fermés ainsi que plusieurs isomorphismes entre ces treillis.
Directeur(s) : Thomas Brüstle
Courriel : Rose-Line(point)Baillargeon(à)Usherbrooke(point)ca

Dupuis, Gabriel
Période : mai 2020 à août 2020
Financement : Bourse de SAG et Bourse de formation à la recherche de Mitacs
Titre : Polynômes extrémaux et une équation de Paul Painlevé
Sujet : Historiquement, les premiers polynômes extrémaux sont les polynômes de Chebyshev qui peuvent être définis comme les polynômes moniques ayant la plus petite déviation de zéro sur l’intervalle [-1,1] parmi tous les polynômes moniques de même degré. Les polynômes de Chebyshev généralisés satisfont la même condition mais sur un ensemble d’intervalles donné. Dans le cas de deux intervalles, exactement un extremum local du polynôme généralisé de Chebyshev tombe entre les deux intervalles, notons sa position y. Fixons trois extrémités des intervalles et laissons varier la quatrième, notée x. Il suit d’un travail récent de V. Dragovic et V. Shramchenko que y en tant que fonction de x vérifie une équation de Painlevé-6. Le but de ce projet est de démontrer ce fait par un calcul direct.
Directeur(s) : Vasilisa Shramchenko
Courriel : Gabriel(point)Dupuis2(à)USherbrooke(point)ca

Lapointe, Élodie
Période : janvier 2020 à avril 2020
Financement : Bourse de l'ISM et subvention CRSNG de Thomas Brüstle
Titre : Le treillis de structures partiellement exactes
Sujet : Ce projet est dans le domaine de la théorie des représentations des algèbres; une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels. La théorie des représentations est un outil puissant. En effet, elle permet de réduire des problèmes d'algèbre abstraite à des problèmes d'algèbre linéaire, un domaine qui est bien compris. Dans notre projet, on étudie le treillis des structures partiellement exactes; un ensemble dont les éléments consistent en classes de suites exactes courtes, partiellement ordonné par l'inclusion et admettant une structure algébrique suplémentaire de treillis. Ce treillis est isomorphe au treillis des sous-bifoncteurs du bifoncteur additif d'extension sur une catégorie additive. Notre but est de simplifier l'étude de ces treillis en proposant un troisième treillis. Celui-ci est le treillis de bimodule sur une certaine algèbre , et il est isomorphe aux deux autres. Ce dernier nous offre une nouvelle façon de voir ces treillis et de nouvelles manières pour étudier leurs propriétés.
Directeur(s) : Souheila Hassoun
Courriel : Elodie(point)Lapointe(à)USherbrooke(point)ca

Lévesque, Simon
Période : janvier 2020 à avril 2020
Financement : Bourse de SAG et subvention CRSNG de V. Shramchenko
Titre : Chemin canonique dans un graphe de ruban
Sujet : Prenons une surface connexe compacte orientable. Un graphe sur cette surface dont les faces sont des disques topologiques est dit graphe de ruban. Un tel graphe peut être défini en termes de deux permutations. Le but du projet est de construire un algorithme permettant de trouver des chemins fermé dans ce graphe qui constituent un ensemble de générateurs, dit canonique, du groupe fondamental de la surface sous-jacente en partant de ces deux permutations.
Directeur(s) : Vasilisa Shramchenko
Courriel : Simon(point)Levesque3(à)USherbrooke(point)ca

Rodrigue, Pier-Olivier
Période : janvier 2020 à avril 2020
Financement : Bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Virginie Charette
Directeur(s) : Virginie Charette et Jean-Philippe Burelle
Courriel : Pier-Olivier(point)Rodrigue(à)USherbrooke(point)ca

Baillargeon, Rose-Line
Période : septembre 2019 à décembre 2019
Financement : Bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Thomas Brüstle
Titre : Isomorphisme de treillis
Sujet : Un treillis est un ensemble avec une relation d’ordre partiel, de plus toute paire d’éléments admet une plus grande borne inférieure (infimum) et une plus petite borne supérieure (supremum). Les structures exactes sur une catégorie additive forment un treillis : la relation d’ordre est l’inclusion, l’infimum est l’intersection et le supremum est l’intersection des bornes supérieures. Il est connu qu’il est possible de définir un sous-bifoncteur fermé du bifoncteur Ext pour chaque structure exacte. Notre projet était de définir une structure de treillis pour ces bifoncteurs fermés et ensuite de montrer que les deux treillis sont isomorphes. L’idée est que cet isomorphisme pourrait être utile pour l’étude des propriétés du treillis des structures exactes. Cela nous a mené à nous demander s’il existait une classe de suites exactes courtes semblable aux structures exactes, mais qui correspond avec les sous-bifoncteurs de Ext qui ne sont pas nécessairement fermés. Nous avons donc défini les structures partiellement exactes. Elles sont semblables aux structures exactes, mais elles ne satisfont pas nécessairement la propriété que la composition de monomorphismes admissibles est un monomorphisme admissible et que la composition d’épimorphismes admissibles est un épimorphisme admissible.
Directeur(s) : Thomas Brüstle
Courriel : Rose-Line(point)Baillargeon(à)Usherbrooke(point)ca

Dupuis, Gabriel
Période : septembre 2019 à décembre 2019
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : Représentations de carquois dans l'homologie de persistance
Sujet : Dans le cadre de mon cours d’initiation à la recherche, j’ai été initié à l’analyse topologique de données. Ce concept émergeant des mathématiques est à la frontière entre l’analyse et l’algèbre et a pour principal but d’étudier les formes géométriques que cachent les nuages de points. J'ai analysé un exemple, soit un nuage de points dans R2, en détail en y appliquant la « filtration de Čech » (i.e. une méthode de clustering).
Directeur(s) : Thomas Brüstle, Benjamin Blanchette

Letourneau, Louis-Simon
Période : septembre 2019 à décembre 2019
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : Représentations de carquois dans l'homologie de persistance
Sujet : Étant donné une bifiltration d’un complexe simplicial, on peut calculer l’homologie de persistence de cette bifiltration. On se retrouve alors avec un diagramme où chaque sommet correspond à l’homologie de rang k au temps t. On aimerait savoir comment ce diagramme se décompose pour en tirer des informations topologiques sur le complexe. Ceci nous mène à étudier la théorie de représentations du carquois correspondant au diagramme pour connaître comment se décomposent ses réprésentations.
Directeur(s) : Thomas Brüstle
Courriel : Louis-Simon(point)Letourneau2(à)usherbrooke(poit)ca

Bernier, David
Période : mai 2019 à août 2019
Financement : Bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Tomasz Kaczynski
Titre : Apprentissage des générateurs de systèmes dynamiques à partir de données
Sujet : Les techniques d'apprentissage automatique pour la construction de systèmes dynamiques à partir de données expérimentales suscitent actuellement un vif intérêt. Au cours des dernières années, d’importants progrès dans ce sens ont été réalisés dans le secteur du génie mécanique, notamment par Brunton et al [1,2]. D'autre part, Kaczynski et l'équipe GRTCI des universités de Sherbrooke et Bishop’s ont été impliqués dans le développement de méthodes topologiques pour la dynamique pilotée par les données. Le cadre principal est la dynamique au temps discret des champs vectoriels combinatoires (CVF) [3]. Le premier objectif du projet est d’apprendre les contributions de Brunton et al. Le document sur SINDy est particulièrement intéressant. Le deuxième objectif du projet est de rechercher l'inspiration dans les méthodes DMD et SINdy pour progresser dans la dynamique des CVC, qui consiste principalement en recherches sur la modélisation mathématique. Le stagiaire devrait (1) lire la littérature sur le sujet, (2) présenter des références sur les méthodes DMD et SINDy lors de séminaires de travail en groupe, (3) participer à la modélisation des CVC et (4) participer à des expériences de programmation connexes, langage de programmation à déterminer. References: 1. S.L. Brunton, J. L. Proctor, J. N. Kutz, Discovering governing equations from data: Sparse identification of nonlinear dynamical systems, Proc. Nat. Acad. Sci., 113(15):3932-3937, 2016 2. J. N. Kutz, S.L. Brunton, Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Modeling of Complex Systems, SIAM 2016. 3. T. Kaczynski, M. Mrozek, and T. Wanner, Towards a formal tie between combinatorial and classical vector field dynamics, J. Comput. Dynamics, 3 (1), (2016), 17-50.
Directeur(s) : Tomasz Kaczynski
Courriel : David(point)Bernier3(à)USherbrooke(point)ca

Pelletier, Gabrielle
Période : mai 2019 à août 2019
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : Forme de Jordan sur une extension quadratique d'un corps
Sujet : À partir de la forme de Jordan réelle d'une matrice à coefficients réels, élaborer une théorie semblable pour la forme de Jordan à coefficients dans un corps, sachant que les valeurs propres se trouvent dans une extension quadratique de celui-ci.
Directeur(s) : Ibrahim Assem
Courriel : gabrielle(point)pelletier(à)usherbrooke(point)ca

Beauchesne Lévesque, Séré
Période : septembre 2018 à décembre 2018
Financement : Bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Thomas Brüstle
Titre : Représentations d'ensembles partiellement ordonnés
Sujet : Les réductions matricielles ont été utilisées depuis les années 1960, principalement par des mathématiciens de Kiew, pour trouver des formes normales pour des objets indécomposables dans des nombreux contextes, tels que des représentations de posets. Le sujet de cette stage est d'étudier ces techniques d'un point de vue moderne.
Directeur(s) : Thomas Brüstle

Baillargeon, Rose-Line
Période : mai 2018 à août 2018
Financement : Bourse de SAG et subvention CRSNG de Thomas Brüstle
Titre : Catégories exactes
Sujet : Une catégorie exacte est une catégorie additive munie d'une structure exacte, soit un ensemble de suites exactes courtes qui contient les identités et est stable pour les isomorphismes, la composition, la somme amalgamée et le produit fibré. Le projet était de calculer les structures exactes dans le cas où la catégorie est formée par les représentations d'un carquois. Le but était de voir si les exemples sont compatibles avec l'idée que les structures exactes ordonnées par l'inclusion forment un cube dont la dimension est le nombre de suites exactes courtes d'Auslander-Reiten.
Directeur(s) : Thomas Brüstle
Courriel : Rose-Line(point)Baillargeon(à)Usherbrooke(point)ca

d'Avignon, Guillaume
Période : mai 2018 à août 2018
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : La forme de Jordan réelle et ses applications
Sujet : Après avoir étudié la réduction d'une matrice complexe par le biais de la forme de Jordan, décrire ce qu'est une forme de Jordan réelle, démontrer leur existence et montrer comment on peut les calculer. Application aux systèmes différentiels.
Directeur(s) : Ibrahim Assem
Courriel : Guillaume(point)DAvignon(à)Usherbrooke(point)ca

Fournier, Alain Junior
Période : mai 2018 à août 2018
Financement : bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Virginie Charette
Titre : Métrique L^1 sur le bidisque et géodésiques de type temps sur l’espace anti de Sitter de dimension 3
Sujet : Il s'agit d'un projet s'inscrivant dans le cadre d'une recherche effectuée par Virginie Charette en collaboration avec Todd Drumm (Howard University) et Youngju Kim (Konkuk University, Séoul). Le bidisque est une variété riemannienne de dimension quatre (en fait, espace symmétrique de rang deux), obtenue en formant le produit de deux plans hyperboliques. Le groupe des isométries du bidisque est virtuellement isomorphe au produit PSL(2,R)xPSL(2,R). Les groupes discrets sont donc bien compris, mais la géométrie des variétés quotients demeure difficile à comprendre. Nous étudions donc différentes approches pour former des régions fondamentales pour des groupes discrets d'isométries du bidisque. En particulier, nous cherchons des régions se comportant d'une certaine manière comme des domaines de Dirichlet, mais sans utiliser la métrique riemannienne. Plus spécifiquement, nous sommes intéressés à explorer deux directions. La première, considérer un analogue de la distance qui se sert d'horocycles, plutôt que de géodésiques. Une deuxième voie qui nous semble très prometteuse est de considérer plutôt la métrique L1.
Directeur(s) : Virginie Charette
Courriel : alain(point)junior(point)fournier(à)usherbrooke(point)ca

Thouin, Kevin
Période : mai 2018 à août 2018
Financement : bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Virginie Charette
Titre : Métrique L^1 sur le bidisque et géodésiques de type temps sur l’espace anti de Sitter de dimension 3
Sujet : Il s'agit d'un projet s'inscrivant dans le cadre d'une recherche effectuée par Virginie Charette en collaboration avec Todd Drumm (Howard University) et Youngju Kim (Konkuk University, Séoul). Le bidisque est une variété riemannienne de dimension quatre (en fait, espace symmétrique de rang deux), obtenue en formant le produit de deux plans hyperboliques. Le groupe des isométries du bidisque est virtuellement isomorphe au produit PSL(2,R)xPSL(2,R). Les groupes discrets sont donc bien compris, mais la géométrie des variétés quotients demeure difficile à comprendre. Nous étudions donc différentes approches pour former des régions fondamentales pour des groupes discrets d'isométries du bidisque. En particulier, nous cherchons des régions se comportant d'une certaine manière comme des domaines de Dirichlet, mais sans utiliser la métrique riemannienne. Plus spécifiquement, nous sommes intéressés à explorer deux directions. La première, considérer un analogue de la distance qui se sert d'horocycles, plutôt que de géodésiques. Une deuxième voie qui nous semble très prometteuse est de considérer plutôt la métrique L1.
Directeur(s) : Virginie Charette
Courriel : kevin(point)thouin(à)usherbrooke(point)ca

Macri, Pauline
Période : janvier 2018 à avril 2018
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : Algèbre linéaire sur des anneaux principaux
Sujet : Étude élémentaire des anneaux principaux. Les exemples fondamentaux: Z et K[t] . Équations linéaires et matrices à coefficients dans un anneau principal.
Directeur(s) : Ibrahim Assem
Courriel : Pauline(point)Macri(à)Usherbrooke(point)ca

Roy, Sunny
Période : janvier 2018 à avril 2018
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : Réduction des structures exactes
Sujet : Une structure exacte sur une catégorie additive est une collection de paires kernel - cokernel qui obéit aux règles des suites exactes courtes dans les catégories abéliennes. Cette notion a été introduite par Alexandre Grothendieck. Le but du projet de recherche est d'utiliser le langage des structures exactes pour étudier les réductions matricielles.
Directeur(s) : Thomas Brüstle
Courriel : Sunny(point)Roy(à)Usherbrooke(point)ca

Sherazi, Jean-François
Période : janvier 2018 à avril 2018
Financement : bourse de CRSNG et subvention personnelle de Shiping Liu
Titre : Dégénération des représentations d'un carquois de type An
Sujet : Un sujet très important dans la théorie des représentations des algèbres est d'étudier les représentations du carquois d'un point de vue géométrique. Un carquois se compose d'un ensemble des points et d'un ensemble des flèches entre les points. À chaque point, on associe un espace vectoriel de dimension finie; et à chaque flèche, on associe une application linéaire. Cela nous donne une représentation du carquois. Quand les applications linéaires sont représentées par des matrices, les représentations du carquois d'un vecteur dimension fixe forment une variété affine munie d'une action du groupe linéaire par conjugaison, de sorte que les classes d'isomorphisme sont en bijection avec les orbites par rapport à cette action du groupe. Le but principal de ce projet est d'étudier cette variété des représentations, plus précisément, de classifier les fermetures des orbites des représentations d'un carquois de type An avec une orientation linéaire. Cette classification est déjà obtenue par deux chercheurs célèbres, Abeasis et Del Fra, en utilisant des techniques et des résultats avancés de la théorie des représentations des algèbres. Nous proposons d'aborder ce problème par des techniques élémentaires de l'algèbre linéaire, c'est-à-dire, les rangs de matrices. Ce projet montrera une interaction très intéressante entre algèbre, géométrie et topologie.
Directeur(s) : Shiping Liu
Courriel : Jean-Francois(point)Sherazi(à)Usherbrooke(point)ca

Fournier, Alain Junior
Période : septembre 2017 à décembre 2017
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : Nombres de Hurwitz et les représentations irréductibles du groupe symétrique
Sujet : Les nombres de Hurwitz sont les nombres de revêtements ramifiés inéquivalents de la sphère de Riemann étant donné le degré N du revêtement, le nombre de points de ramification, leurs projections sur la sphère et le type de ramification à chaque point. Ce nombre peut être calculé en étudiant les représentations irréductibles du groupe symétrique S_N, le groupe de permutation de N objets. Le projet consiste à comprendre ce lien entre les revêtements ramifiés et les représentations de S_N.
Directeur(s) : Vasilisa Shramchenko
Courriel : Alain(point)Junior(point)Fournier(à)Usherbrooke(point)ca

Thouin, Kevin
Période : septembre 2017 à décembre 2017
Financement : Chaire de recherche du Canada en topologie en basses dimensions
Titre : Une implémentation par ordinateur réduisant les structures de type D aux courbes immersées
Sujet : This project implemented the algorithm found in Section 3 of the paper Bordered Floer homology for manifolds with torus boundary via immersed curves (https://arxiv.org/abs/1604.03466). This algorithm takes, as input, an algebraic object and produces a collection of immersed curves in the punctured torus (e.g. a geometric object). The results are publicly available at https://github.com. This provides a valuable computational tool as well as an alternate verification of the main result in the paper, since the algorithm at the heart of the proof is constructive.
Directeur(s) : Liam Watson
Courriel : kevin(point)thouin(à)usherbrooke(point)ca

Gobeil, Thomas
Période : janvier 2017 à décembre 2017
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : Gravité quantique en deux dimensions
Sujet : Il existe deux approches à la gravité quantique en deux dimensions. Une approche utilise un modèle de matrices aléatoires et l’autre utilise l’analyse de l’espace modulaire des courbes algébriques stables. Ce projet consiste à étudier les deux approches et à calculer certaines quantités (nombres d’intersection de classes caractéristiques sur l’espace modulaire) en utilisant les deux approches mentionnées.
Directeur(s) : Vasilisa Shramchenko, Patrick Labelle
Courriel : Thomas(point)Gobeil(à)Usherbrooke(point)ca

Langford, Denis
Période : mai 2017 à août 2017
Financement : Bourse de SAG et subvention CRSNG de Thomas Brüstle
Titre : Réduction des matrices
Sujet : Les réductions matricielles ont été utilisées depuis les années 1960, principalement par des mathématiciens de Kiew, pour trouver des formes normales pour des objets indécomposables dans des nombreux contextes, tels que des représentations de carquois ou des représentations de posets. Le sujet de cette stage est d'étudier ces techniques d'un point de vue moderne.
Directeur(s) : Thomas Brüstle
Courriel : Denis.Langford(à)usherbrooke.ca

Grenier, Gabrielle
Période : janvier 2017 à avril 2017
Financement : bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Virginie Charette
Titre : Actions de groupes discrets sur H^4
Sujet : Le projet consiste à calculer certains exemples de fibrés en cercles au-dessus de surfaces munies d'une structure hyperbolique, lesquels fibrés sont construits suivant une technique dévelopée par Son Lam Ho, et d'en étudier l'ensemble-limite sur S^3. (Un autre aspect du projet, impliquant une autre stagiaire, consiste à calculer la classe d'Euler de ces fibrés.) L'approche de Ho est la suivante : on commence par construire une collection de sphères dans S^3, considéré ici comme le bord de l'espace hyperbolique de dimension 4. En choisissant des cercles appropriés sur ces sphères, on peut construire l'image d'une application développante du revêtement universel de la surface dans S^3. De plus, cette construction engendre un fibré en cercles au-dessus de ce revêtement universel de la surface. En passant au quotient par un groupe, engendré par l'appariement de paires de ces cercles, on obtient un fibré non-trivial. On peut visualiser l'ensemble-limite en appliquant de très longs mots sur des points. Le choix de différents cercles sur les sphères affecte l'holonomie du fibré. Un cas particulièrement intéressant est celui où le groupe contient des éléments paraboliques. À noter qu'en dimension quatre, il y a plusieurs types d'isométries parabolique.
Directeur(s) : Virginie Charette, Son Lam Ho
Courriel : gabrielle(point)g(point)grenier(à)usherbrooke(point)ca

Langlois, Frédéric
Période : janvier 2017 à avril 2017
Financement : bourse de CRSNG et subvention personnelle de Thomas Brüstle
Titre : La structure d'algèbre amassée des grassmaniennes
Sujet : La grassmannienne Gr(k,n) est l'ensemble de tous les sous-espaces de dimension k d'un espace vectoriel de dimension n. Il se trouve que, pour chaque grassmanienne, l'anneau de coordonnées d'une grassmanienne est isomorphe à une algèbre amassée, un objet très populaire dans la théorie de représentation. But de cette stage, est de calculer toutes les algèbres inclinées et inclinées amassées pour le cas Gr(3,6).
Directeur(s) : Thomas Brüstle
Courriel : frederic(point)langlois(à)USherbrooke(point)ca

Thouin, Kevin
Période : janvier 2017 à avril 2017
Financement : bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Virginie Charette
Titre : Actions de groupes discrets sur H^4
Sujet : Le projet consiste à calculer certains exemples de fibrés en cercles au-dessus de surfaces munies d'une structure hyperbolique, lesquels fibrés sont construits suivant une technique dévelopée par Son Lam Ho, et d'en étudier l'ensemble-limite sur S^3. (Un autre aspect du projet, impliquant une autre stagiaire, consiste à calculer la classe d'Euler de ces fibrés.) L'approche de Ho est la suivante : on commence par construire une collection de sphères dans S^3, considéré ici comme le bord de l'espace hyperbolique de dimension 4. En choisissant des cercles appropriés sur ces sphères, on peut construire l'image d'une application développante du revêtement universel de la surface dans S^3. De plus, cette construction engendre un fibré en cercles au-dessus de ce revêtement universel de la surface. En passant au quotient par un groupe, engendré par l'appariement de paires de ces cercles, on obtient un fibré non-trivial. On peut visualiser l'ensemble-limite en appliquant de très longs mots sur des points. Le choix de différents cercles sur les sphères affecte l'holonomie du fibré. Un cas particulièrement intéressant est celui où le groupe contient des éléments paraboliques. À noter qu'en dimension quatre, il y a plusieurs types d'isométries parabolique.
Directeur(s) : Virginie Charette, Son Lam Ho
Courriel : kevin(point)thouin(à)usherbrooke(point)ca

Leymonerie, Noémie
Période : mai 2016 à août 2016
Financement : bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Virginie Charette
Titre : ensembles-limite d’actions sur H^4
Sujet : Dans ce projet, nous étudions les représentations quasi-fuchsiennes, lesquelles sont des représentations discrètes de groupes fondamentaux de surfaces fermées, dans SO(4,1). Ce groupe est en fait le groupe des isométries de H^4, l'espace hyperbolique de dimension 4; de plus il agit de manière conforme sur le bord de H^4, lequel est conformément équivalent à S^3. Étant donnée une représentation quasi-fuchsienne du groupe fondamental d'une surface fermée (de genre au moins 2), l'action du groupe sur S^3 correspond à un fibré en cercles conformément plate basée sur la surface. Nous nous intéressons à la conjecture de Gromov-Lawson-Thurston, affirmant que si E est un fibré en cercle conformément plate sur une surface fermée, alors la valeur absolue du nombre d'Euler de E est bornée par la valeur absolue de la caractéristique d'Euler de la surface. De nouveaux exemples de telles représentations quasi-fuchsiennes dans SO(4,1), associées à des fibrés en cercles conformément plates, ont été proposés par Son Lam Ho dans sa thèse de doctorat; il obtient ainsi une nouvelle borne sur le nombre d'Euler de ces fibrés. Le but de notre projet de recherche est en deux parties : d'une part, produire plusieurs exemples de tels groupes et calculer le nombre d'Euler associé; ensuite, tenter d'améliorer la borne supérieure obtenue par Ho sur le nombre d'Euler d'un fibré en cercles conformément plate.
Directeur(s) : Virginie Charette, Son Lam Ho
Courriel : noemie(point)leymonerie(à)usherbrooke(point)ca

Roy, Vincent
Période : mai 2016 à août 2016
Financement : bourse de CRSNG et subvention personnelle de Shiping Liu
Titre : Orbites des représentations d'un carquois de type An
Sujet : Le but principal de ce projet est d'étudier la dégénération de matrices par rapport à l'action de la conjugaison du groupe linéaire, plus précisément, de classifier les fermetures des orbites des représentations d'un carquois de type An avec l'orientation linéaire. Cette classification est déjà obtenue par Abeasis et Del Fra, en utilisant des résultats avancés de la théorie des représentations des algèbres. Nous proposons d'aborder ce problème par des techniques élémentaires de l'algèbre linéaire. Ce projet montrera une interaction très intéressante entre l'algèbre, géométrie algébrique et topologie algébrique.
Directeur(s) : Shiping Liu
Courriel : Vincent(point)Z(point)Roy(à)usherbrooke(point)ca

Thouin, Kevin
Période : mai 2016 à août 2016
Financement : bourse de CRSNG et subvention CRSNG de Virginie Charette
Titre : Géométrie du bidisque
Sujet : Dans ce projet, nous étudions les représentations quasi-fuchsiennes, lesquelles sont des représentations discrètes de groupes fondamentaux de surfaces fermées, dans SO(4,1). Ce groupe est en fait le groupe des isométries de H^4, l'espace hyperbolique de dimension 4; de plus il agit de manière conforme sur le bord de H^4, lequel est conformément équivalent à S^3. Étant donnée une représentation quasi-fuchsienne du groupe fondamental d'une surface fermée (de genre au moins 2), l'action du groupe sur S^3 correspond à un fibré en cercles conformément plate basée sur la surface. Nous nous intéressons à la conjecture de Gromov-Lawson-Thurston, affirmant que si E est un fibré en cercle conformément plate sur une surface fermée, alors la valeur absolue du nombre d'Euler de E est bornée par la valeur absolue de la caractéristique d'Euler de la surface. De nouveaux exemples de telles représentations quasi-fuchsiennes dans SO(4,1), associées à des fibrés en cercles conformément plates, ont été proposés par Son Lam Ho dans sa thèse de doctorat; il obtient ainsi une nouvelle borne sur le nombre d'Euler de ces fibrés. Le but de notre projet de recherche est en deux parties : d'une part, produire plusieurs exemples de tels groupes et calculer le nombre d'Euler associé; ensuite, tenter d'améliorer la borne supérieure obtenue par Ho sur le nombre d'Euler d'un fibré en cercles conformément plate.
Directeur(s) : Virginie Charette
Courriel : kevin(point)thouin(à)usherbrooke(point)ca

Laberge, Frédéric
Période : mai 2014 à août 2014
Financement : CRSNG et subvention personnelle de Shiping Liu
Titre : Dégénération des représentations des carquois
Sujet : Démontrer qu'étudier un carquois de type An revient à faire l'étude d'une certaine famille de matrices. Étude du carquois A2.
Directeur(s) : Shiping Liu
Courriel : frédéric(point)laberge(à)usherbrooke(point)ca

Masson, Catherine
Période : mai 2014 à août 2014
Financement : CRSNG et subventions personnelles de Ibrahim Assem et de Vasilisa Shramchenko.
Titre : Quadrilatères et pentagones dans le graphe d'échange
Sujet : Démontrer deux relations sur les suites de mutations de carquois. Ces deux relations ont une application dans les graphes d’échange et permettent de faciliter l’ébauche de celui-ci.
Directeur(s) : Ibrahim Assem, Vasilisa Shramchenko et Thomas Brüstle
Courriel : Catherine(point)Masson(à)USherbrooke(point)ca

Morissette, Jean-Philippe
Période : mai 2014 à août 2014
Financement : CRSNG et subvention personnelle de Thomas Brüstle
Titre : Quadrilatères et pentagones dans le graphe d'échange
Sujet : Démontrer l'existence de deux relations au sein du graphe d'échange permettant d'un côté de faciliter l'ébauche de celui-ci, et d'un autre côté de pouvoir identifier des isomorphismes de carquois.
Directeur(s) : Ibrahim Assem, Vasilisa Shramchenko et Thomas Brüstle
Courriel : Jean-Philippe.Morissette(à)USherbrooke.ca

Barbe Marcoux, Mélissa
Période : mai 2014 à juillet 2014
Financement : Bourse du SAG et subvention de I. Assem
Titre : Semicorps et frises tropicales
Directeur(s) : I. Assem
Courriel : melissa.barbe-marcoux(à)usherbrooke.ca

Bazier-Matte, Véronique
Période : mai 2014 à juillet 2014
Financement : Bourse du SAG et subvention de I. Assem
Titre : Semicorps et frises tropicales
Directeur(s) : I. Assem
Courriel : veronique.bazier-matte(à)usherbrooke.ca

Bazier-Matte, Véronique
Période : mai 2013 à août 2013
Financement : Bourse de premier cycle du SAG
Titre : Algèbres amassées et phénomène Laurent
Sujet : Prouver que toutes les variables obtenues en mutant sur des carquois de type Dn ou E6 respectent le phénomène de Laurent, c'est-à-dire qu'elles sont de la forme "polynôme divisé par monôme".
Directeur(s) : Ibrahim Assem et Vasilisa Shramchenko
Courriel : Veronique.Bazier-Matte(à)Usherbrooke.ca

Douville, Guillaume
Période : mai 2013 à août 2013
Financement : Subventions de recherche de V. Shramchenko et I. Assem
Titre : Algèbres amassées et phénomène Laurent
Sujet : Prouver que toutes les variables obtenues en mutant sur des carquois de type Dn ou E6 respectent le phénomène de Laurent, c'est-à-dire qu'elles sont de la forme «polynôme divisé par monôme».
Directeur(s) : I. Assem et V. Shramchenko
Courriel : Guillaume(point)Douville(à)USherbrooke(point)ca

Lebrun, Yannick
Période : mai 2013 à août 2013
Financement : CRSNG
Titre : À propos du diamètre d'un associaèdre
Sujet : On peut définir l'associaèdre de dimension n comme un graphe dont les sommets sont des arbres de grandeur nc et les arêtes correspondent à des rotations envoyant un arbre sur un autre. Un diamètre d'un associaèdre correspond ainsi à une paire d'arbres maximalement éloignés l'un de l'autre. Très utiles pour décrire les opérations transformant des collections de données admettant une structure en arbre, telles que les triangulations de polygones ou encore les regroupements de parenthèses, les associaèdres jouent aussi un rôle important dans la théorie des algèbres amassées, à titre de graphe d'échanges de type A(n). Dans les années 1980, Sleator-Tarjan-Thurston ont trouvé le diamètre d'un associaèdre de dimension n, pour n assez grand. Ils conjecturaient que cette valeur devait demeurer bonne en relativement basse dimension. Pournin a montré qu'elle tenait bel et bien à partir de n=9. La preuve de Pournin est combinatoire, en contraste avec l'approche originale de Sleator-Tarjan-Thurston, qui puisait notamment dans la géométrie hyperbolique. Notre projet est de tenter de trouver une nouvelle preuve du théorème de Pournin, à l'aide des algèbres amassées. Ce projet sera mené conjointement avec Thomas Brüstle.
Directeur(s) : Virginie Charette et Thomas Brüstle
Courriel : Yannick.Lebrun(à)usherbrooke.ca

Marceau, Jean-François
Période : mai 2013 à août 2013
Financement : CRSNG
Titre : Frises additives et triangulations de surfaces
Sujet : Frises additives et triangulations de surfaces
Directeur(s) : Thomas Brüstle et David Smith
Courriel : jmarceau10(à)gmail.com

Racicot-Desloges, David
Période : janvier 2013 à avril 2013
Financement : Faculté des Sciences et subvention de recherches d'I. Assem
Titre : c-frises et algèbres amassées
Sujet : L'objectif de ce stage de recherche est de poursuivre l'étude des c-frises, entreprise avec V. Bazier-Matte et Tanna Sanchez McMillan, et d'étudier leurs applications possibles en théorie des algèbres amassées.

Lapointe, Gabriel
Période : août 2012 à décembre 2012
Financement : Cours d'initiation à la recherche
Titre : Des ondes dans l'eau
Sujet : Le projet consiste à étudier les équations aux dérivées partielles qui décrivent les ondes dans l'eau: l'équation de Korteweg-de Vries (KdV), l'équation non linéaire de Schrödinger (NLS), l'équation de Kadomtsev Petviashvilli (KP), l'équation de Camassa-Holm (CH). Le premier but est de comprendre les différences et les liaisons entre toutes ces équations et comment elles sont dérivées à partir de l'équation d'Euler du liquide incompressible. Le deuxième but est d'étudier les solutions particulières qui décrivent les vagues scélérates et les vagues solitaires et de les visualiser à l'aide d'ordinateur.
Directeur(s) : Vasilisa Shramchenko
Courriel : Gabriel(point)Lapointe(à)USherbrooke(point)ca

Lebrun, Yannick
Période : août 2012 à décembre 2012
Financement : Subvention personnelle de V. Charette
Titre : Visualisation de surfaces dans l'univers d'Einstein
Sujet : Élaborer une paramétrisation adéquate de certains objets fondamentaux dans l'univers d'Einstein de dimension trois, notamment: les photons, les cônes de lumière, les tores d'Einstein. Ceci sera appliqué à la visualisation de domaines fondamentaux pour l'action de groupes de Schottky. Le logiciel Mathematica sera utilisé.
Directeur(s) : Virginie Charette
Courriel : yannick(point)lebrun(à)usherbrooke(point)ca

Bazier-Matte, Véronique
Période : mai 2012 à août 2012
Financement : Bourse de 1er cycle du CRSNG et subvention personnelle de I. Assem
Titre : Polynômes continuants et triangulations de polygones
Sujet : Les polynômes continuants ont été introduits par Euler et servent entre autres à exprimer des fractions continues. Une variante en est la notion de polynôme continuant signé (parfois appelé polynôme de Tchebychev généralisé) qui apparaît dans l’étude des frises, définies par Coxeter en 1973, et qui exprime aussi des fractions continues. Or, l’étude des frises connaît un regain d’intérêt à cause de leur lien avec les algèbres amassées (« cluster algebras ») de Fomin et Zelevinsky, ainsi que démontré par Assem, Reutenauer et Smith. Les polynômes continuants signés ont ainsi démontré leur utilité pour le calcul des variables amassées. Par ailleurs, Conway et Coxeter ont trouvé une bijection entre frises d’entiers et triangulations de polygones,. L’objectif du projet de recherches est de définir et construire une bijection analogue partant non des polynômes continuants signés, mais des polynômes continuants ordinaires, puis d’étudier les propriétés de ces triangulations en particulier leurs liens possibles avec les algèbres amassées.
Directeur(s) : Ibrahim Assem
Courriel : veronique(point)bazier(tiret)matte(à)Usherbrooke(point)ca

Marceau, Jean-François
Période : mai 2012 à août 2012
Financement : Bourse de 1er cycle du CRSNG et subvention personnelle de D. Smith
Titre : On maximal green sequences
Sujet : Maximal green sequences are sequences of quiver mutations stemming from the theory of cluster algebras. They are related to quantum dilogarithm identities by the work of Reineke and Keller, and to the complete spectrum of BPS particles by the work of Cecotti and Vafa. Despite these important connections, maximal green sequences are not well studied at this moment. The aim of the project is to study these sequences from a combinatorial and from a cluster category point of view. The combinatorial aspect deals with mutations of c-vectors, or equivalently studying the sequences of mutations in Keller's quiver mutation applet that are obtained from a frozen quiver. The cluster category point of view deals with Amiot's cluster category, thus the category of silting objects over the Jacobian algebra.
Directeur(s) : Thomas Brüstle et David Smith
Courriel : jmarceau10(à)ubishops(point)ca

Racicot-Desloges, David
Période : mai 2012 à août 2012
Financement : PIFIÉ
Titre : Polynômes continuants et algèbres amassées
Sujet : Les polynômes continuants ordinaires ont été introduits par Euler. C'est une famille de polynômes définis par récurrence et qui a plusieurs liens avec la théorie des déterminants et celle des fractions continues. Plus récemment, les polynômes continuants signés ont été introduits d'abord implicitement par Coxeter, puis explicitement par Grégoire Dupont (sous le nom de polynômes de Tchebyshev généralisés, voir [« Cluster multiplication in regular components via generalized Tchebyshev polynomials » à paraître dans Algebras and Representation Theory]). Dupont a aussi trouvé une application de ces polynômes à l'étude des algèbres amassées (« Cluster algebras ») de Fomin et Zelevinsky. dans un travail récent de I. Assem et C. Reutenauer [« Mutating seeds: types A and à », à paraître dans Ann. Math. Blaise Pascal.], cette application a été précisée, au moins dans certains cas. L'objectif du projet de recherche est d'entreprendre un étude comparée des deux classes : celle des polynômes continuants ordinaires et celle des polynômes continuants signés, dans l'espoir de trouver de nouvelles applications d'une de ces deux classes.
Directeur(s) : Ibrahim Assem
Courriel : David(point)Racicot(tiret)Desloges(à)USherbrooke(point)ca

Sánchez McMillan, Tanna
Période : mai 2012 à août 2012
Financement : Bourse de 1er cycle du CRSNG et subvention personnelle de I. Assem
Titre : Polynômes continuants et frises
Sujet : Les polynômes continuants avaient été étudiés par Euler et servent entre autres à exprimer des fractions continues. Une variante en est la notion de polynôme continuant signé (parfois appelé polynôme de Tchebychev généralisé) qui apparaît dans l’étude des frises, introduites par Coxeter en 1973, et qui exprime aussi des fractions continues. Or, l’étude des frises connaît un regain d’intérêt à cause de leur lien avec les algèbres amassées (« cluster algebras ») de Fomin et Zelevinsky, ainsi que démontré par Assem, Reutenauer et Smith. Les polynômes continuants signés ont ainsi démontré leur utilité pour le calcul des variables amassées. L’objectif du projet de recherches est de définir et construire une notion de frise partant non des polynômes continuants signés, mais des polynômes continuants ordinaires, puis d’étudier les propriétés de ces nouvelles frises, en particulier leurs interprétations géométriques et leurs liens possibles avec les algèbres amassées.
Directeur(s) : Ibrahim Assem
Courriel : tanna(point)sanchez(à)gmail(point)com

Burelle, Jean-Philippe
Période : janvier 2012 à avril 2012
Financement : Bourse de 1er cycle du CRSNG et subvention personnelle de V. Shramchenko
Titre : Démonstration de Griffiths et Harris du théorème de Poncelet
Sujet : Considérons deux coniques lisses C et D dans le plan projectif. Le problème classique de Poncelet est de déterminer s'il existe un polygone inscrit dans C et tel que D soit inscrit dans ce polygone. Le résultat de Poncelet affirme qu'un tel polygone existe si et seulement si il y a une infinité de tels polygones. Plusieurs preuves de ce théorème existent (données par Poncelet, Jacobi, Cayley) et toutes les preuves montrent la relation du problème de Poncelet aux courbes elliptiques. Les démonstrations sont basées sur des relations compliquées entre les fonctions elliptiques. En 1977 P. Griffiths et J. Harris ont donné une version élégante de la démonstration du théorème de Poncelet. En utilisant les méthodes algébro-géometriques, ils arrivent à une formule de Cayley qui implique le théorème de Poncelet. Le but du projet proposé est de comprendre la construction de Griffiths et Harris et de fournir un exemple explicite d'un polygone de Poncelet pour deux coniques C et D pour lesquelles un tel polygone existe.
Directeur(s) : Vasilisa Shramchenko
Courriel : jean(tiret)philippe(point)burelle(à)usherbrooke(point)ca

Douville, Guillaume
Période : janvier 2012 à avril 2012
Financement : Bourse de la Faculté des sciences et subvention personnelle de I. Assem
Titre : Caractérisation des algèbres amassées de type fini
Sujet : Fomin et Zelevinsky ont démontré qu'une algèbre amassée est de type fini (c'est à dire est engendrée par un nombre fini de variables amassée) si et seulement si son carquois est équivalent par mutations à un carquois de type Dynkin. L'objectif du stage est de trouver une preuve élémentaire de ce théorème dans les cas A et D en employant les triangulations de surfaces associées.
Directeur(s) : Ibrahim Assem et Vasilisa Shramchenko
Courriel : guillaume(point)douville(à)usherbrooke.ca

Fournier, Laurence
Période : janvier 2012 à avril 2012
Financement : Bourse de 1er cycle du CRSNG et subvention personnelle de M. Beaudry
Titre : Propriétés algébriques de certains langages réguliers
Sujet : Le projet dans le cadre duquel M. Fournier sera appelé à travailler consiste à étudier les propriétés d'un modèle de reconnaissance de langages, appelé les réseaux de moyennes, qui apparemment est entièrement original. Ce modèle est une version simplifiée de certains automates quantiques et fonctionne de manière entièrement classique, ce qui en facilite l'analyse. Les résultats obtenus sur ce modèles pourraient ensuite être reformulés en termes d'automates quantiques, afin de caractériser exactement les langages réguliers qu'ils reconnaissent.
Directeur(s) : Martin Beaudry
Courriel : laurence(point)fournier(à)usherbrooke(point)ca

Boulet St Jacques, David
Période : mai 2011 à août 2011
Financement : LaCIM et subvention d'I. Assem
Titre : Frises et Groupes de Frises
Sujet : C'est un travail conjoint avec Myriam Chabot et Guillaume Douville. L'objectif du projet est de comprendre la définition et les propriétés fondamentales des algèbres amassées, ainsi que l’utilisation des fonctions de frises pour calculer les variables amassées transjectives dans le cas acyclique. Ensuite, on essaiera de calculer les groupes de frises pour les cas les plus intéressants, ceux des carquois de Dynkin et des carquois Euclidiens.
Directeur(s) : I. Assem
Courriel : boulet(tiret)st(tiret)jacques(point)david(à)courrier(point)uqam(point)ca

Chabot, Myriam
Période : mai 2011 à août 2011
Financement : ISM et subvention d.'I. Assem
Titre : Frises et Groupes de Frises
Sujet : C'est un travail conjoint avec David Boulet St Jacques et Guillaume Douville. L'objectif du projet est de comprendre la définition et les propriétés fondamentales des algèbres amassées, ainsi que l’utilisation des fonctions de frises pour calculer les variables amassées transjectives dans le cas acyclique. Ensuite, on essaiera de calculer les groupes de frises pour les cas les plus intéressants, ceux des carquois de Dynkin et des carquois Euclidiens.
Directeur(s) : I. Assem et G. Dupont
Courriel : myriam(point)chabot(à)usherbrooke(point)ca

Douville, Guillaume
Période : mai 2011 à août 2011
Financement : CRSNG et subvention de T. Brüstle
Titre : Frises et Groupes de Frises
Sujet : C'est un travail conjoint avec David Boulet St Jacques et Myriam Chabot. L'objectif du projet est de comprendre la définition et les propriétés fondamentales des algèbres amassées, ainsi que l’utilisation des fonctions de frises pour calculer les variables amassées transjectives dans le cas acyclique. Ensuite, on essaiera de calculer les groupes de frises pour les cas les plus intéressants, ceux des carquois de Dynkin et des carquois Euclidiens.
Directeur(s) : I. Assem et T. Brüstle
Courriel : guillaume(point)douville(à)usherbrooke(point)ca

Francoeur, Dominik
Période : mai 2011 à août 2011
Financement : CRSNG et subvention de V. Charette
Titre : Ein (2,1) et espace de plans
Sujet : La correspondance entre l'univers d'Einstein Ein(2,1) et l'espace des plans lagrangiens d'un espace vectoriel symplectique de dimension 4.
Directeur(s) : Virginie Charette
Courriel : dominik(point)francoeur(à)usherbrooke(point)ca

Marceau, Jean-François
Période : mai 2011 à août 2011
Financement : CRSNG et subvention de D. Smith
Titre : Frises
Sujet : Dans les années 1970, Conway et Coxeter ont introduit la notion de frises, lequel est un concept relativement simple faisant intervenir les matrices 2 par 2 de déterminant 1. Récemment, leur intérêt a été ravivé par les travaux de Fomin et Zelevinsky (2006) sur les algèbres amassées.

Dans ce stage, nous nous intéresserons aux liens entre les frises de Conway-Coxeter et les algèbres amassées de Fomin-Zelevinsky. Nous porterons aussi notre regard sur certaines variantes des frises, notamment leur analogue additif étudié par Shephard (1976) et la toute nouvelle notion de 2-frises introduites par Propp (2006) et plus largement étudiées par Morier-Genoud, Ovsienko et Tabachnikov (2010). L'objectif principal sera de tisser des liens entre ces différents types de frises.
Directeur(s) : David Smith
Courriel : JMARCEAU10(à)UBishops.ca

Peng, Xueyuan
Période : mai 2011 à août 2011
Financement : Subvention du SAG et subvention de T Brüstle
Titre : Markoff Numbers and Cluster Algebras
Sujet : Markoff numbers are triples of natural numbers satisfying that their product equals the sum of their squares. It has been shown by Markoff in 1879 [Mar] that one can obtain all such numbers by a simple recursive procedure starting from the triple (1,1,1). The same numbers and the same recursive procedure have been found recently in a completely different context, when studying the cluster algebra of a torus.

The aim of this project is to find deeper reasons why one arrives at the same phenomenon from two different starting points, on one side elementary number theory, and on the other hand a seemingly difficult but currently much investigated object, the so-called cluster algebra. We hope this new approach will also shed some light on longstanding unsolved questions concerning Markoff numbers.
Directeur(s) : Thomas Brüstle
Courriel : xuedoris0106(à)hotmail(point)com

Baril Boudreau, Félix
Période : janvier 2011 à avril 2011
Financement : Subventions de V. Shramchenko
Titre : Homologie d’une surface de Riemann et problèmes de Riemann-Hilbert
Sujet : Étudier l'homologie d'une surface de Riemann et l'homologie relative relativement à un sous-ensemble donné. Trouver une transformation entre deux bases de l'homologie relative données. Cette transformation correspond à la matrice de Stokes d'une équation différentielle matricielle avec une singularité essentielle.
Directeur(s) : Vasilisa Shramchenko
Courriel : Felix(point)Baril(point)Boudreau(à)usherbrooke(point)ca

Burelle, Jean-Philippe
Période : septembre 2010 à décembre 2010
Financement : Bourse de 1er cycle de l'ISM
Titre : Algèbres amassées quantiques de type A
Sujet : Les algèbres amassées, introduites en 2001 par Sergey Fomin et Andrei Zelevinsky, sont des algèbres commutatives dont le but est de modéliser combinatoirement des objets d'étude classiques de l'algèbre du XXème siècle, dont notamment les algèbres enveloppantes d'algèbres de Lie. Ces structures algébriques se sont par la suite avérées être d'une grande généralité en mathématiques et ont fait l'objet d'une étude approfondie en liens avec des domaines comme la combinatoire, l'algèbre, la géométrie, la topologie ou la physique mathématique.

En 2004, Arkady Berenstein et Andrei Zelevinsky ont introduit un analogue noncommutatif des algèbres amassées dans le but de modéliser combinatoirement des déformations quantiques des algèbres enveloppantes, appelées groupes quantiques, jouant un rôle essentiel en physique théorique. Ces analogues non-commutatifs, appelées algèbres amassées quantiques, semblent partager de nombreuses propriétés avec les algèbres amassées classiques mais leur étude n'en est encore qu'à ses débuts.

Une classe privilégiée d'algèbres amassées quantiques est celle des algèbres dites de type A. En effet, ces dernières possèdent d'une part une structure combinatoire particulièrement élémentaire et jouent d'autre part un rôle central dans l'étude des groupes quantiques associés aux algèbres de Lie formées des matrices carrées de trace nulle.

Lors de ce stage, Jean-Philippe Burelle a établi des analogues quantiques de plusieurs formules connues pour les algèbres amassées classiques. Il s'agit là de résultats originaux facilitant grandement l'étude de ces structures algébriques particulières.
Directeur(s) : Grégoire Dupont
Courriel : Jean(tiret)Philippe(point)Burelle(à)USherbrooke.ca

Camirand Lemyre, Félix
Période : septembre 2010 à décembre 2010
Financement : Subvention du FQRNT de V. Sharmchenko
Titre : L'action du groupe de tresses sur l'homologie d'une surface hyperelliptique.
Sujet : Une surface hyperelliptique de genre g peut être représentée comme suit. Prenons deux sphères (deux plans complexes compactifiés = deux copies de CP^1) et un point sur chacune des deux. Enlevons de petits disques centrés en ces points. Considérons le bord obtenu qui est la réunion de deux cercles. On peut couper et coller les deux cercles de façon à obtenir un seul cercle qu'on note C. Maintenant on prend un disque dans le plan complexe et colle son bord au cercle C au moyen de l'application Z -> Z^2. Il faut répéter cette opération avec 2g+2 points au total sur chaque sphère pour obtenir une surface hyperelliptique de genre g. Cette construction décrit la structure complexe sur la surface.

Topologiquement une telle surface est une sphère à g anses (un tore a le genre 1). Par conséquent il y a 2g cycles non-triviaux sur la surface, la base d'homologie de la surface.

Une tresse agit sur l'ensemble des 2g+2 points par une permutation des points. La question est comment la base d'homologie se transforme sous une telle action. Il y a des réponses partielles à cette questions mais en général le problème est ouvert.
Directeur(s) : Vasilisa Shramchenko
Courriel : Felix(point)Camirand(point)Lemyre(à)USherbrooke.ca